Correzione compito in classe

classe V, Ottobre 2007

Considera la funzione
  1. Ricava il grafico della funzione a partire da quello della radice quadrata mediante semplici trasformazioni geometriche corrispondenti a semplici sostituzioni della variabile indipendente;
  2. determina per quali valori la funzione è positiva;
  3. verifica che la funzione è strettamente crescente;
  4. mostra che una funzione strettamente crescente è sempre invertibile;
  5. determina l’espressione analitica della funzione inversa e disegnane il grafico;
  6. scrivi l’espressione analitica della funzione che ha per grafico la curva simmetrica rispetto a (-1,2) del grafico della funzione data. 
A partire dal grafico della funzione elementare
	
 
si passa per traslazione lungo l'asse x nel verso negativo 
di ampiezza 1 a
	
 
quindi per simmetria rispetto all'asse y a
	
 
quindi per simmetria rispetto all'asse x a
	
 
infine per traslazione lungo l'asse y nel verso negativo 
di ampiezza 2 a
	
 

La funzione, che ha campo d'esistenza x$le;1, è positiva quando,
	

cioè
	4 > 1-x
cioè
	x > -3.

La funzione è crescente se
	
	 
D'altra parte
	
	 
e
	
	 
e infine
	
	 

Evidentemente la condizione
	f(x1) <  f(x2)     Û     x1 <  x2 
implica la condizione
	f(x1) ¹  f(x2)      Û     x1 ¹  x2 
che esprime l'iniettività della funzione f.

La funzione inversa si ottiene esplicitando la x
	
	 
equivale a
	1 - x = (2 - y)2
che equivale a
	x = 1 - (2 - y)2
La funzione inversa ha dunque espressione analitica
	y = 1 - (2 - x)2     per x ≤ 2

A partire dale equazioni della simmetria centrale di centro (-1,2)
	
 
sostituendo nell'equazione della funzione
	

si ottiene
	

ovvero
pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione